Какая разница между either и neither в английском языке?

Если говорить кратко, то разница между этими двумя словами заключается в том, что neither — это отрицательная форма either.

Но рассмотрим каждое из этих слов более подробно.

Употребление either.
Either употребляется в том случае, когда мы говорим о двух предметах или лицах и переводится как любой из двух, тот или другой, один из двух.

Either может быть в предложении местоимением-прилагательным или местоимением-существительным.
Рассмотрим его употребление в каждом из этих случаев.

Употребление в качестве местоимения-прилагательного.
Buy either laptop. I think both of them are good — Покупай один из этих (двух) ноутбуков. Я думаю, они оба хорошие.

Когда either выполняет функцию местоимения-прилагательного, то оно ставится перед исчисляемым существительным в единственном числе.

Употребление в качестве местоимения-существительного.
Here are two laptops; you may buy either (of them) — Вот два ноутбука; вы можете купить любой (из них).

Когда either выполняет функцию местоимения-существительного, то с ним обычно употребляется предлог of.

Either иногда используется в значении оба, каждый (из двух), и тот и другой.

Например.
There are a lot of big trees on either bank of the river — На том и другом берегу реки много больших деревьев.

Употребление neither.
Как было сказано выше, neither — это отрицательная форма either и переводится как ни тот, ни другой.

Изучите пример.
Neither of sentences was correct — Ни то, ни другое предложение не было верным.